Question

已知函数y=f(x)(x∈R)满足：f(a^x)=a^x+1+1(a＞0，且a≠1)，定义数列{a_n}，a₁=b(b＞0)，a_n+1=f(a_n)-1(n∈N^*)．

(Ⅰ)证明数列{a_n}为等比数列；

(Ⅱ)假设T_n=a₁·a₂…a_n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，Q_n=.

①试用T₃、S₃表示Q₃；

②证明：Q_n=.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f(a^x)=a^x+1+1=a·a^x+1，

∴f(x)=ax+1，

∴a_n+1=f(a_n)-1=a·a_n，又a₁=b＞0，

∴=a(n∈N^*)．

∴数列{a_n}为首项为b，公比为a，各项为正的等比数列．

(Ⅱ)①方法一：

Q₃=，

∵T₃=a₁a₂a₃=b³·a³，

∴b²a²=．

又S₃=a₁+a₂+a₃=，

∴Q₃=.

方法二：

T₃=a₁a₂a₃,T₃=a₃a₂a₁

∴T₃²=a₁a₃a₂²·a₁a₃=(a₁a₃)³

Q₃=,又Q₃=

∴2Q₃=

∴Q₃=.

②方法一：Q_n=

∵T_n=a₁a₂a₃…a_n =b_n·，

∴b²a^n-1=．

又S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=.

∴Q_n=.

方法二：

利用=(a₁a_n)·(a₂a_n-1)·(a₃a_n-2)…(a_na₁)

2Q_n=(略)．

方法三：归纳，猜想，证明．(略).