Question

如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，且AB=1，BC=2，AA₁=2．求直线B₁C与平面B₁BDD₁夹角的余弦值．

Answer 1

分析：利用已知条件分别求出向量

B1C

和平面B₁BDD₁的法向量

n

，设直线B₁C与平面B₁BDD₁夹角为θ，由公式cosθ=

1-(cos＜ B1C ， n ＞)2

能求出结果．

解答：解：如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∵AB=1，BC=2，AA₁=2，
∴B₁（1，0，2），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），
∴

B1C

=(0，2，-2)，

BB1

=（0，0，2），

BD

=（-1，2，0），
设平面B₁BDD₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n

•

BB1

=0，

n

•

BD

=0，
∴

2z=0 -x+2y=0

，∴

n

=(2，1，0)，
设直线B₁C与平面B₁BDD₁夹角为θ，
则cosθ=

1-(cos＜ B1C ， n ＞)2

=

1-( 0+2+0 4+4 • 4+1 )2

=

10

10

．
故直线B₁C与平面B₁BDD₁夹角的余弦值为

10

10

．

点评：本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．