题目内容
（1）已知x，y，z∈R，且x+y+z=8，x2+y2+z2=24，求证：
．（2）已知a1，b1，x1，x2∈R+，ab=1，x1+x2=2，求证：（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥4
（3）已知
．
【答案】分析：（1）用x表示y+z和y2+z2，即y+z=8-x，y2+z2=24-x2．再利用柯西不等式（y2+z2）（1+1）≥（y+z）2
得到关于x的一元二次不等式（24-x2）（1+1）≥（8-x）2，化简求得x的范围即可，同理可求得y和z的范围
（2）直接利用柯西不等式
证明得到；
（3）直接利用柯西不等式
证明得到．
解答：证明：（1）∵x，y，z∈R，x+y+z=8，x2+y2+z2=24，∴y+z=8-x，y2+z2=24-x2．
又由柯西不等式可知（y2+z2）（1+1）≥（y+z）2，即（24-x2）（1+1）≥（8-x）2，
化简后可得
，同理可证
，
．
（2）∵a1，b1，x1，x2∈R+，ab=1，x1+x2=2，
∴
=（x1+x2）2=4．
∴（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥4．
（3）∵a．b．c．d∈R+a+b+c+d=1，
∴
．
点评：此题考查柯西不等式应用．
得到关于x的一元二次不等式（24-x2）（1+1）≥（8-x）2，化简求得x的范围即可，同理可求得y和z的范围
（2）直接利用柯西不等式
证明得到；（3）直接利用柯西不等式
证明得到．解答：证明：（1）∵x，y，z∈R，x+y+z=8，x2+y2+z2=24，∴y+z=8-x，y2+z2=24-x2．
又由柯西不等式可知（y2+z2）（1+1）≥（y+z）2，即（24-x2）（1+1）≥（8-x）2，
化简后可得
，同理可证，．（2）∵a1，b1，x1，x2∈R+，ab=1，x1+x2=2，
∴
=（x1+x2）2=4．∴（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥4．
（3）∵a．b．c．d∈R+a+b+c+d=1，
∴
．点评：此题考查柯西不等式应用．
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