Question

已知函数f(x)＝(b＜0)的值域为[1，3]．

(1)求实数b，c的值；

(2)判断函数F(x)＝lgf(x)在x∈[－1，1]上的单调性，并给出证明；

(3)若t∈R，求证：．

Answer 1

答案：
解析：

解 (1)由y＝知x∈R，去分母整理得(2－y)＋bx＋c－y＝0．(*)当2－y≠0时，由x∈R，有Δ＝－4(2－y)(c－y)≥0，即 　　－4(2＋c)y＋8c－≤0，由题设及二次不等式和方程的关系，得解得又b＜0，∴b＝－2，c＝2，当2－y＝0时，将b＝－2，c＝2代入(*)式，x有解，∴b＝－2，c＝2为所求． 　　(2)F(x)在x∈[－1，1]上是减函数．事实上，令u＝＝2－，任取－1≤≤1，则，∵||≤1，||≤1，，∴||＜1，即1－＞0，而＞0，∴＞0，即，由u＞0，，即F()＞F()，故F(x)在x∈[－1，1]上是减函数． 　　证 (3)∵ 　　，∴≤，由(2)的结论，有，而F()＝，F()＝，∴≤F(|t－|－|t＋|)≤．