题目内容

19．某生态农庄池塘的平面图为矩形ABCD，已知AB=4，BC=10，E为AD上一点，且AE=2，P为池塘内一临时停靠点，且P到AB，BC的距离均为3，EC，EB为池塘上浮桥，为了固定浮桥，现准备进过临时停靠点P再架设一座浮桥MN，其中M，N分别是浮桥EC，EB上点．（浮桥宽度、池塘岸边宽度不计），设EM=d，
（1）当d为何值时，P为浮桥MN的中点？
（2）怎样架设浮桥MN才能使得△EMN面积最小，求出面积最小时d的值？

分析 （1）以E为坐标原点，AD所在直线为y轴，过E垂直于AD的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出所用点的坐标，求出直线EC，EB的方程，设出M，N的坐标，利用P为MN 中点求出m，n即可．
（2）利用P在MN上得到斜率相等，从而得到关于m，n的等式，借助于基本不等式求mn的最小值．

解答 解：（1）以E为坐标原点，AD所在直线为y轴，过E垂直于AD的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
则C（4，8），B（4，-2），P（1，1）
∴EC：y=2x    EB：y=$-\frac{1}{2}$x，
∴EC⊥EB
设M（m，2m），N（2n，n），（m＞0，n＞0）
∵P为MN的中点
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+2n=2}\\{2m-n=2}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1.2}\\{n=0.4}\end{array}\right.$     此时M（1.2，2.4），d=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
答：当d=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$时，P为浮桥MN中点．…（7分）
（2）∵kPM=kPN
∴$\frac{2m-1}{m-1}=\frac{-n-1}{2n-1}$
∴m+3n=5mn（$\frac{2}{3}≤m≤4$，$\frac{4}{17}≤n≤2$）
∵EC⊥EB
∴${S}_{△EMN}=\frac{1}{2}$EM•EN=$\frac{5}{2}$mn
∵m+3n=5mn$≥2\sqrt{3mn}$当且仅当m=3n=1.2时取等号，
∴mn$≥\frac{12}{25}$．
∴${S}_{△EMN}=\frac{5}{2}mn$≥1.2，此时d=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．…（14分）
答：当d=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$时，三角形EMN面积最小，最小为1.2．…（16分）

点评 本题考查了直线方程、直线与直线的交点问题、基本不等式的运用求最值；关键是适当的建立坐标系，使问题坐标化．

练习册系列答案
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