Question

写出下面各数列的一个通项公式：

（1）3，5，7，9，…；

（2），，，，，…；

（3）-1，，-，，-，，…；

（4），-1，，-，，-，…；

（5）3，33，333，3 333，….

Answer 1

（1）a_n=2n+1.（2）a_n=.（3）a_n=（-1）ⁿ·.也可写为a_n=.

（4）a_n=(-1)ⁿ⁺¹·.（5）a_n=(10ⁿ-1).

解析:

（1）各项减去1后为正偶数，所以a_n=2n+1.

（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列2¹，2²，2³，2⁴，…，所以a_n=.

（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）ⁿ；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，所以a_n=（-1）ⁿ·.

也可写为a_n=.

（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）ⁿ⁺¹，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是3²+1，4²+1，5²+1，6²+1，按照这样的规律第1、2两项可改写为，-，

所以a_n=(-1)ⁿ⁺¹·.

（5）将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10-1,10²-1,10³-1,10⁴-1,…,

所以a_n=(10ⁿ-1).