Question

若从1，2，3，…，14这14个整数中同时取3个数，其中任意两数之差的绝对值不小于3，则不同的取法有

 

种．

Answer 1

分析：分类讨论，差值等于3，4，5，6，分别求出相应的组合数，即可得出结论．

解答：解：①差值等于3的，1是首项，共5个数，{1，4，7，10，13}；
2是首项，共5个数，{2，5，8，11，14}；
3是首项，共4个数，{3，6，9，12}；
4是首项，共4个数，{4，7，10，13}；
5是首项，共4个数，{5，8，11，14}；
6是首项，共3个数，{6，9，12}；
7是首项，共3个数，{7，10，13}
8是首项，共3个数，{8，11，14}；
从上面分析可以看到，从首项是4开始到首项是8，是前面情况的重复出项，
所以不同的取法有

2C

3 5

+

C

3 4

=24种；
②差值等于4的，1是首项，13是末项，共4个数，{1，5，9，13}；
2是首项，14是末项，共4个数，{2，6，10，14}；
3是首项，11是末项，共3个数，{3，7，11}；
4是首项，12是末项，共3个数，{4，8，12}；
5是首项，13是末项，共3个数，{5，9，13}；
6是首项，14是末项，共3个数，{6，10，14}，
所以不同的取法有2

C

3 4

+3=15种；
③差值等于5的，1是首项，11是末项，共3个数，{1，6，11}；
2是首项，12是末项，共3个数，{2，7，12}；
3是首项，13是末项，共4个数，{3，8，13}；
4是首项，13是末项，共4个数，{4，9，14}，
所以不同的取法有4种；
④差值等于6的，1是首项，14是末项，共2个数，{1，7，14}，组合数为1
所以总的取法24+15+4+1=44种．
故答案为：44．

点评：本题考查排列组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．