Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）+

2

x+1

-1（x≥0，a＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=2处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=1且b＜0，函数g（x）=

1

3

bx³-bx，若对于?x₁∈（0，1），总存在x₂∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由f（x）求导函数f′（x），f（x）在x=2处取得极值，得f′（2）=0，求出a的值；
（II）对f（x）的导函数f′（x），讨论f′（x）＞0时，函数是增函数，f′（x）＜0时，函数是减函数；得f（x）的单调区间；
（Ⅲ）a=1时，求出f（x）在（0，1）上的值域A；b＜0时，g（x）在（0，1）上的值域B；由题意A⊆B；从而求出b的取值范围．

解答：解：（I）∵f（x）=ln（ax+1）+

2

x+1

-1，∴f′（x）=

a

ax+1

-

2

(x+1)2

=

a(x+1)2-2(ax+1)

(ax+1)(x+1)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(x+1)2

由f（x）在x=2处取得极值，得f′（2）=0，即5a-2=0，
∴a=

2

5

；
（II）∵f′（x）=

ax2+a-2

(ax+1)(x+1)2

（其中a＞0，且x≥0），
若a≥2，x≥0时，得f′（x）＞0
即f（x）在[0，+∞）上是增函数，
若0＜a＜2时，令f′（x）=0，有x=

2-a a

，或x=-

2-a a

（舍去）      

x	（0， 2-a a ）	2-a a	（ 2-a a +∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	减函数		增函数

∴f（x）的单调减区间是（0，

2-a a

），单调增区间是 （

2-a a

，+∞），
（Ⅲ）当a=1时，由（2）得f（x）在（0，1）上是减函数，
∴ln2＜f（x）＜1，即f（x）的值域A=（ln2，1）；　
∵g（x）=

1

3

bx³-bx，∴g′（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1），且b＜0，∴x∈（0，1）时g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，1）上是增函数．∴g（x）的值域B=（0，-

2

3

b）；
由任取x₁∈（0，1），存在x₂∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₂），∴A⊆B；
即-

2

3

b≥1，∴b≤-

3

2

；
∴b的取值范围是{b|b≤-

3

2

}．

点评：本题考查了利用导函数研究函数的单调性与极值的问题，以及函数的值域问题，是较难的题目．