题目内容
已知抛物线C：y2=4x，P（x0，y0）（y0＞0）为抛物线上一点，Q为P关于x轴对称的点，O为坐标原点．
（1）若S△POQ=2，求P点的坐标；
（2）若过满足（1）中的点P作直线PA，PB交抛物线C于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，且k1k2=4，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．
（1）若S△POQ=2，求P点的坐标；
（2）若过满足（1）中的点P作直线PA，PB交抛物线C于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，且k1k2=4，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．
分析：（1）利用P（x0，y0）（y0＞0）为抛物线上一点，S△POQ=2，建立方程，即可求P点的坐标；
（2）设直线AB的方程与抛物线联立，利用韦达定理，及k1k2=4，化简可得结论．
（2）设直线AB的方程与抛物线联立，利用韦达定理，及k1k2=4，化简可得结论．
解答：（1）解：由题意得，S△POQ=
x02y0=2，∴
=2，∴y0=2，即P（1，2）…（4分）
（2）证明：设直线AB的方程为x=my+b，A（x1，y1）B（x2，y2）
直线与抛物线联立得y2-4my-4b=0，∴y1+y2=4m，y1y2=-4b
由k1k2=4，即
•
=4，整理得
=4
即
=4，
把韦达定理代入得（b-2m）（b+2m-1）=0b=2m或b=-2m+1（舍）…（10分）
所以直线AB过定点（0，-2）…（12分）
| 1 |
| 2 |
| y03 |
| 4 |
（2）证明：设直线AB的方程为x=my+b，A（x1，y1）B（x2，y2）
直线与抛物线联立得y2-4my-4b=0，∴y1+y2=4m，y1y2=-4b
由k1k2=4，即
| y1-2 |
| x1-1 |
| y2-2 |
| x2-1 |
| y1y2-2(y1+y2)+4 |
| x1x2-(x1+x2)+1 |
即
| y1y2-2(y1+y2)+4 | ||||
|
把韦达定理代入得（b-2m）（b+2m-1）=0b=2m或b=-2m+1（舍）…（10分）
所以直线AB过定点（0，-2）…（12分）
点评：本题考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
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