题目内容

1．分别求出正十五边形任三个顶点所构成的锐角三角形及钝角三角形的个数．

分析 求出正十五边形任三个顶点所构成的三角形，有${C}_{15}^{3}$=455个，直角三角形的个数为0．考虑从正十五边形的某个顶点A出发且∠A为钝角的三角形的个数共有1+2+…+7=21个，故共有15×21=315个钝角的三角形；即可求出锐角三角形的个数．

解答 解：正十五边形任三个顶点所构成的三角形，有${C}_{15}^{3}$=455个．
由题意，15个顶点中的任意两个顶点的连线都不可能是直径，故直角三角形的个数为0．
考虑从正十五边形的某个顶点A出发且∠A为钝角的三角形的个数，设AB为它的外接圆的直径，显然B不是正十五边形的顶点，记从A开始按逆时针方向的顶点依次记为A1，A2，…，按顺时针方向的顶点依次为A-1，A-2，…，要使得△AiAA-j是∠A为钝角的三角形，则i+j≤7，其中i，j≥1，共有1+2+…+7=21个，故共有15×21=315个钝角的三角形；
锐角三角形的个数为455-315=140个．

点评 本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定钝角的三角形的个数是关键．

练习册系列答案
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10．从集合S={1，2，3，4，5，6}中取3个元素按从小到大排列，这样的排列共有（　　）
A．P${\;}_{6}^{3}$个B．C${\;}_{6}^{3}$个C．$\frac{1}{2}$P${\;}_{6}^{3}$个D．$\frac{1}{2}$C${\;}_{6}^{3}$个
11．从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是$\frac{3}{4}$．
11．某流程图如图所示，则该程序运行后输出的k=5．
12．已知sinαtanα=$\frac{3}{2}$，且0＜α＜π．
（1）求α的值；
（2）求函数f（x）=4cosxcos（x-α）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．
9．等差数列{an}中，a2、a8是函数f（x）=3x2-2x-1的零点，则log3a5的值为（　　）
A．-4B．-2C．-1D．1
16．执行下列程序后，x的值是（　　）
i=1
x=5
WHILE i＜20
x=x+$\frac{i}{5}$
i=i+2
WEND
PRINT x
END．
A．25B．24C．23D．22
6．一次研究性学习有“整理数据”、“撰写报告”两项任务，两项任务无先后顺序，每项任务的完成相互独立，互不影响．某班研究性学习有甲、乙两个小组．根据以往资料统计，甲小组完成研究性学习两项任务的概率都为$\frac{1}{2}$，乙小组完成研究性学习两项任务的概率都为q．若在一次研究性学习中，两个小组完成任务项数相等，而且两个小组完成任务数都不少于一项，则称该班为“和谐研究班”．
（Ⅰ）若q=$\frac{2}{3}$，求在一次研究性学习中，已知甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐研究班”的概率；
（Ⅱ）设在完成4次研究性学习中该班获得“和谐研究班”的次数为ξ，若ξ的数学期望Eξ≥1，求q的取值范围．
13．角θ的终边过点（a-2，a+2），且cosθ≤0，sinθ＞0，则a的取值范围为（　　）
A．（-2，2）B．[-2，2）C．（-2，2]D．[-2，2]

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