Question

设动点P到点A(-1，0)和B(1，0)的距离分别为d₁和d₂，∠APB=2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂sin²θ=λ，
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的范围，使=0，其中点O为坐标原点．

Answer 1

解：（1）在△PAB中，|AB|=2，即，
，
即（常数），
点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长的双曲线，
方程为：．
（2）设，
①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，
M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，
即，
因为0＜λ＜1，所以；
②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1），
由得：，
由题意知：，
所以，
于是：，
因为，且M，N在双曲线右支上，
所以，
由①②知，。