题目内容

设虚数z满足 $数学公式$ ．
（1）求证：|z|为定值．
（2）是否存在实数 $数学公式$ 为实数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

（1）依题意，设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）…2′
代入 $\text{[math]}$ 得|（2x+3）+2yi|= $\text{[math]}$ |（x+2）-yi|，
整理得：x²+y²=3，即|z|= $\text{[math]}$ …6′
（2）设存在实数k，使得 $\text{[math]}$ 为实数，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）i∈R，
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0，
∵y≠0，
∴k=± $\text{[math]}$ ．
故存在实数k且k=± $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为实数…12′
分析：（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），代入已知条件，可得|z|= $\text{[math]}$ ；
（2）设存在实数k，使得 $\text{[math]}$ 为实数，利用复数的模的性质将 $\text{[math]}$ 化为：（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）i∈R，从而得到 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0，继而可求得k的值．
点评：本题考查复数代数形式的混合运算，设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）代入条件关系式是突破口，着重考查复数模的性质，属于中档题．