题目内容
（2010•珠海二模）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、90°90°．用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域数为x，转盘（B）指针所对的区域数为y，x、y∈{1，2，3，4}，设x+y的值为ξ，每一次游戏得到奖励分为ξ．（1）求x＜3且y＞2的概率；
（2）某人进行了6次游戏，求他平均可以得到的奖励分．
分析：（1）在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、90°、90°，根据圆心角度数，求出x和y取不同值时的概率，根据互斥事件的概率求出结论．
（2）由条件可知ξ的取值为：2、3、4、5、6、7、8，当ξ=2时，即x=1且y=1，根据独立事件同时发生的概率公式求出ξ=2的概率，用同样的方法可以求出其他值对应的概率，写出分布列和期望，估计平均可以得到的奖励分．
（2）由条件可知ξ的取值为：2、3、4、5、6、7、8，当ξ=2时，即x=1且y=1，根据独立事件同时发生的概率公式求出ξ=2的概率，用同样的方法可以求出其他值对应的概率，写出分布列和期望，估计平均可以得到的奖励分．
解答：（本小题满分12分）
解：（1）由几何概率模型可知：
P(x=1)=
，P(x=2)=
，P(x=3)=
，P(x=4)=
；
P(y=1)=
，P(y=2)=
，P(y=3)=
，P(y=4)=
∴P(x＜3)=P(x=1)+P(x=2)=
，P(y＞2)=P(y=3)+p(y=4)=
，
∴P(x＜3，y＞2)=P(x＜3)•P(y＞2)=
（2）由条件可知ξ的可能取值为：2、3、4、5、6、7、8，则：…（6分）
P(ξ=2)=P(x=1)•P(y=1)=
×
=
，
P（ξ=3）=P（x=1）P（y=2）+P（x=2）P（y=1）=
×
+
×
=
，…（7分）
同理可得：
P（ξ=4）=
，P（ξ=5）=
，P（ξ=6）=
，P（ξ=7）=
，P（ξ=8）=
，…（9分）
∴ξ的分布列为：
…（10分）
他平均一次得到的奖励分即为ξ的期望值：
Eξ=2×
+3×
+4×
+5×
+6×
+7×
+8×
=
，…（11分）
所以给他玩6次，平均可以得到6×Eξ=29分． …（12分）
解：（1）由几何概率模型可知：
P(x=1)=
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
P(y=1)=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
∴P(x＜3)=P(x=1)+P(x=2)=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 12 |
∴P(x＜3，y＞2)=P(x＜3)•P(y＞2)=
| 5 |
| 24 |
（2）由条件可知ξ的可能取值为：2、3、4、5、6、7、8，则：…（6分）
P(ξ=2)=P(x=1)•P(y=1)=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 18 |
P（ξ=3）=P（x=1）P（y=2）+P（x=2）P（y=1）=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 11 |
| 72 |
同理可得：
P（ξ=4）=
| 5 |
| 24 |
| 37 |
| 144 |
| 13 |
| 72 |
| 15 |
| 144 |
| 1 |
| 24 |
∴ξ的分布列为：
| ξ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||||||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
|
|
他平均一次得到的奖励分即为ξ的期望值：
Eξ=2×
| 1 |
| 18 |
| 11 |
| 72 |
| 5 |
| 24 |
| 37 |
| 144 |
| 13 |
| 72 |
| 15 |
| 144 |
| 1 |
| 24 |
| 29 |
| 6 |
所以给他玩6次，平均可以得到6×Eξ=29分． …（12分）
点评：本题主要考查了概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，以及离散型随机变量的数学期望和分布列，属于中档题．
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