Question

已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，-2）及左焦点F₁的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F₂．
（1）求椭圆的方程；
（2）求△CDF₂的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a、b、c的方程，解出a=，b=c=1，从而得到椭圆的方程；
（2）求出F₁B直线的斜率得直线F₁B的方程为y=-2x-2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x₁-x₂|=，结合弦长公式可得|CD|=，最后利用点到直线的距离公式求出F₂到直线BF₁的距离d，即可得到△CDF₂的面积．
解答：解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，
∴b==1，且=，解之得a=，c=1
可得椭圆的方程为； …（4分）
（2）∵左焦点F₁（-1，0），B（0，-2），得F₁B直线的斜率为-2
∴直线F₁B的方程为y=-2x-2
由，化简得9x²+16x+6=0．
∵△=16²-4×9×6=40＞0，
∴直线与椭圆有两个公共点，设为C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则
∴|CD|=|x₁-x₂|=•=•=
又∵点F₂到直线BF₁的距离d==，
∴△CDF₂的面积为S=|CD|×d=×=．
点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并求三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆角曲线的位置关系等知识，属于中档题．