题目内容
在△ABC中，已知A（1，4），B（4，1），C（0，-4），若P为△ABC所在平面一动点，则
•
+
•
+
•
的最小值是（ ）
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
分析：设P的坐标为（x，y），向量
、
、
的坐标关于x、y的坐标形式，从而算出
•
、
•
和
•
关于x、y的表达式，进而得到
•
+
•
+
•
=3x2+3y2-10x-2y-12，再用配方法结合二次函数求最值的方法，即可算出所求的最小值．
| PA |
| PB |
| PC |
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
解答：解：设P（x，y），可得
=（1-x，4-y），
=（4-x，1-y），
=（-x，-4-y）
∴
•
=（1-x）（4-x）+（4-y）（1-y）=x2+y2-5x-5y+8
•
=（4-x）（-x）+（1-y）（-4-y）=x2+y2-4x+3y-4
•
=（1-x）（-x）+（4-y）（-4-y）=x2+y2-x-16
因此，
•
+
•
+
•
=3x2+3y2-10x-2y-12
∵3x2+3y2-10x-2y-12=3（x-
）2+3（y-
）2-
∴当x=
且y=
时，
•
+
•
+
•
的最小值为-
故选：C
| PA |
| PB |
| PC |
∴
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
因此，
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
∵3x2+3y2-10x-2y-12=3（x-
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 62 |
| 3 |
∴当x=
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| PA |
| PB |
| PB |
| PC |
| PC |
| PA |
| 62 |
| 3 |
故选：C
点评：本题给出△ABC三个顶点的坐标，求平面ABC内的向量数量积之和的最小值，着重考查了平面向量数量积的计算公式和二次函数求最值等知识，属于中档题．
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