Question

已知函数f（x）=x²-|x|，若f(log3

1

m+1

)＜f(2)，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：分析f（x）=x²-|x|在（0，+∞）上的表达式，可以得到函数图象位于y轴右侧图象，再根据已知条件，可以得出函数f（x）=x²-|x|为R上的偶函数，因此作出函数完整的图象，再根据图象解不等式f(log3

1

m+1

)＜f(2)，问题变得简单易行，最后解决关于m的对数不等式，可得实数m的取值范围．

解答：解：易知函数f（x）=x²-|x|为偶函数，
且x∈（0，+∞）时，f（x）=x²-x，
在（0，

1

2

）上单调递减，（

1

2

，+∞）上单调递增，
作出f（x）图象如图所示：

因此不等式f(log3

1

m+1

)＜f(2)等价于

-2＜log 3 1 m+1 ＜2 1 m+1 ＞0

解这个不等式得-

8

9

＜m＜8
故答案为(-

8

9

，8)

点评：本题考查了二次函数的图象与性质，以及对数不等式的解法，属于中档题．解决本题的关键是结合函数性质来解不等式问题，利用化归转化和数形结合思想解题．