Question

已知点和互不相同的点，，，…，，…，满足，其中分别为等差数列和等比数列，为坐标原点，若是线段的中点.

（1）求的值；

（2）点，，，…，，…能否共线？证明你的结论；

（3）证明：对于给定的公差不零的，都能找到唯一的一个，使得，，，…，，…，都在一个指数函数的图象上.

Answer 1

解：（1）是线段的中点         

      又， 且不共线，

由平面向量基本定理，知：             

(2) 由       

设的公差为，的公比为，则由于，，，…，，…互不相同，

所以，不会同时成立；                            

若，则，

    ，，，…，，…都在直线上；          

若，则为常数列，

    ，，，…，，…都在直线上；            

若且，，，，…，，…共线

与共线（）

与矛盾，

∴当且时，，，，…，，…不共线.

（3）设都在指数函数的图像上，则

       令，则，                         

于是，有唯一解，           

由于， ，从而满足条件“，，，…，，…互不相同”。

∴当对于给定的，都能找到唯一的一个，

使得，，，…，，…，都在指数函数的图象上。