Question

【题目】在三棱柱中，平面，，，，点D在棱上，且，建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）当时，求异面直线与的夹角的余弦值；

（2）若二面角的平面角为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由建立的空间直角坐标系，表示出和，利用向量的夹角公式即可求出异面直线与的夹角的余弦值；

（2）根据题意分别求出平面和平面的法向量，由二面角的平面角为，即可得到的值。

（1）易知，，，

因为， ，所以 ．

当时， ，所以，，

所以．

由于异面直线所成角的范围为，故异面直线与的夹角的余弦值为（2）由，可知， ，所以，

由（1）知， 设平面 的法向量为，

则 即 ，令，

解得，，

所以平面 的法向量为；

设平面的法向量为，

则，即

令，解得，，

所以平面的一个法向量为．

因为二面角的平面角为，

所以 ，

即，解得或，由于，

故的值为．