Question

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等比数列，其前n项和S_n中，S₃、S₄、S₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求数列{b_n}的前n项和为T_n；
（3）求满足的最大正整数n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，等比数列{a_n}的公比q≠1，由S₃、S₄、S₂成等差数列可列式求得q，从而可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知，a_n=，从而可求得b_n=2n-1，数列{b_n}为等差数列，利用等差数列的求和公式即可求得数列{b_n}的前n项和为T_n；
（3））可求得（1-）（1-）…（1-）=（1-）（1-）…（1-）=，由＞，可求得最大正整数n的值．
解答：解：（1）若q=1，则S₃=3，S₄=4，S₂=2，显然S₃，S₄，S₂不构成等差数列，
∴q≠1．
故由S₃，S₄，S₂成等差数列得：2•=+…（2分）
∴2q⁴=q³+q²⇒2q²-q-1=0⇒（2q+1）（q-1）=0，
∵q≠1，
∴q=-．…（4分）
∴a_n=1×=．…（5分）
（2）∵b_n=2|a_n|+1=2||+1=2+1=2（n-1）+1=2n-1…（7分）
∴T_n═1+3+…+（2n-1）==n²．…（9分）
（3）（1-）（1-）…（1-）
=（1-）（1-）…（1-）
=•…=…（11分）
=．…（13分）
令＞，解得：n＜154．
故满足条件的最大正整数n的值为154．…（14分）
点评：本题考查数列的求和，考查等差数列的求和与对数函数的性质，考查方程思想与等价转化思想的综合应用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．