题目内容
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：
，
，f3（x）=2，
，
，f6（x）=xcosx．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
【答案】分析：（Ⅰ）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为
，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为
，由此能求出结果．
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
为奇函数；
为偶函数；
f3（x）=2为偶函数；
为奇函数；
为偶函数；
f6（x）=xcosx为奇函数…（3分）
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；
故基本事件总数为
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，
故满足条件的基本事件个数为
故所求概率为
．…（6分）
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…（7分）
，
；
故ξ的分布列为
…（10分）
．
∴ξ的数学期望为
．…（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型．解题时要注意排列组合和概率知识的合理运用．
，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为
，由此能求出结果．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
为奇函数；
为偶函数；f3（x）=2为偶函数；
为奇函数；
为偶函数； f6（x）=xcosx为奇函数…（3分）
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；
故基本事件总数为
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，
故满足条件的基本事件个数为
故所求概率为
．…（6分）（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…（7分）
，
；故ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P |  |  |  |  |
．∴ξ的数学期望为
．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型．解题时要注意排列组合和概率知识的合理运用．
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