Question

双曲线与椭圆

x2

27

+

y2

36

=1有相同焦点，且经过点（

15

，4）．
（Ⅰ）求双曲线的方程；            
（Ⅱ）求双曲线的离心率及渐近线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）双曲线与椭圆

x2

27

+

y2

36

=1有相同焦点，双曲线的焦点为F₁（0，-3），F₂（0，3），设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

9-a2

=1，由点（

15

，4）在双曲线上，能求出双曲线方程．
（Ⅱ）由双曲线方程为

y2

4

-

x2

5

=1，知a=2，c=

4+5

=3，由此能求出双曲线的离心率和渐近线方程．

解答：解：（Ⅰ）∵双曲线与椭圆

x2

27

+

y2

36

=1有相同焦点，
∴双曲线的焦点为F₁（0，-3），F₂（0，3），
设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

9-a2

=1，
点（

15

，4）在双曲线上，代入，得：

16

a2

-

15

9-a2

=1，
解得a²=4，或a²=36（舍），
∴双曲线方程为

y2

4

-

x2

5

=1．
（Ⅱ）∵双曲线方程为

y2

4

-

x2

5

=1，
∴a=2，c=

4+5

=3，
∴双曲线的离心率e=

c

a

=

3

2

．渐近线方程：y=±

2 5

5

x．

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查双曲线的离心率和渐近线方程的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆性质的合理运用．