题目内容

设双曲线与椭圆
x2
27
+
y2
36
=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为（
15
，4），则此双曲线的标准方程是
y2
4
-
x2
5
=1
y2
4
-
x2
5
=1
．
分析：由题意可得椭圆的焦点坐标，再由双曲线的定义可得a值，进而由b2=c2-a2可得b值，结合焦点位置可得双曲线的方程．
解答：解：由题意可知椭圆
x2
27
+
y2
36
=1的焦点在y轴上，
且c2=36-27=9，故焦点坐标为（0，±3）
由双曲线的定义可得2a=|
(
15
-0)2+(4-3)2
-
(
15
-0)2+(4+3)2
|=4，
故a=2，b2=32-22=5，故所求双曲线的标准方程为
y2
4
-
x2
5
=1
故答案为：
y2
4
-
x2
5
=1
点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及椭圆的简单性质，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
给出下列五个结论其中正确的是（　　）
①若实数x，y满足（x-2）2+y2=3，则
y
x
的最大值为
3
；②椭圆
x2
4
+
y2
3
=1与椭圆
x2
2
+
2y2
3
=1有相同的离心率；③双曲线
x2
2-k
+
y2
3-k
=1的焦点坐标是（1，0），（-1，0）④圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有 公共点的充要条件是k∈(-
3
，
3
)⑤设a＞1，则双曲线
x2
a2
-
y2
(a+1)2
=1的离心率e的取值范围是(
2
，
5
)．
（2013•徐州模拟）设中心在原点的双曲线与椭圆
x22
+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是
2x2-2y2=1
2x2-2y2=1
．
给出下列五个命题：
①已知直线a，b和平面α，若a∥b，b∥α，则a∥α；
②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；
③双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），则直线y=
b
a
x+m（m∈R）与双曲线有且只有一个公共点；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；
⑤过M（2，0）的直线l与椭圆
x2
2
+y2=1交于P1P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于-
1
2
．
其中，正确命题的序号为
④⑤
④⑤
．
给出下列五个命题：
①已知直线a，b和平面α，若a∥b，b∥α，则a∥α；
②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；
③双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），则直线y=
b
a
x+m（m∈R）与双曲线有且只有一个公共点；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；
⑤过M（2，0）的直线l与椭圆
x2
2
+y2=1交于P1P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于-
1
2
．
其中，正确命题的序号为______．
设中心在原点的双曲线与椭圆
x2
2
+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是______．

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