Question

在一很大的湖边（湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为v。同时，岸上有一人从同一地点开始追赶小船。已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h，问此人能否追上小船？若小船速度的方向不变，大小改变，求小船能被人追上的最大速度。

Answer 1

答案：
解析：

［解］设船速度为v，人追上船所用时间为t，其中人在岸上跑的时间为t的x倍(0<x<1)，则人在水中游中的时间为(1-x)t。人要追上船，则人船运动路线满足如图所示的三角形。 在DOAB中，|OA|=4xt，|AB|=2(1-x)t，|OB|=vt， 由余弦定理得：|AB|2=|OA|2+|OB|2-2×|OA|×|OB|×cos15° 即4(1-x)2t2=(4xt)2+(vt)2-2×4xt×vt×cos15° 整理得，    ① 显然，船行速度应在人在岸上的速度和人在水中的速度之间，即2<v<4 设， 则方程（1）在区间(0，1)上有实数解，即在(0，1)上有实根， 因为f(0)=v2-4>0， 故只需满足： 综上所述，有 所以，当小船的速度为2.5km/h时，人能追上小船，小船能被人追上的最大速度约为。