Question

（选做题）
如图，已知⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O₁O₂的延长线相交于点C，延长AP交⊙O₂于点D，点E在AD的延长线上。
（Ⅰ）求证：△ABP是直角三角形；
（Ⅱ）若AB·AC=AP·AE，AP=4，，求的值。

Answer 1

证明：（Ⅰ）过点P作两圆公切线PN交AB于N，
由切线长定理得，
∴△PAB为直角三角形；
（Ⅱ）∵，
∴，
又，
∴，
∴
即，
由切割线定理，，
∴，
∴。