Question

（14分）设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为,右焦点与点
的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在经过点的直线,使直线与椭圆相交于不同的两点满足？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由．

Answer 1

解:（1）依题意,设椭圆方程为,则其右焦点坐标为
,由,得,即
故．又∵,∴,从而可得椭圆方程为．-----------6分
（2）由题意可设直线的方程为,由知点在线段的垂直平分线上,
由消去得,即可得方程（*）
当方程（*）的即时方程（*）有两个不相等的实数根．
设,,线段的中点,则是方程（*）的两个不等的实根,故有．从而有 ,．
于是,可得线段的中点的坐标为
又由于,因此直线的斜率为,
由,得，即，解得，∴，
∴综上可知存在直线：满足题意．--------------14分

解析