Question

已知四边形ABCD的等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC、AB、设M是AB的中点.

   （Ⅰ）求证：BC⊥平面AEC；

   （Ⅱ）判断直线EM是否平行平面ACD，并说明理由.

Answer 1

证明：

（Ⅰ）在图1中，过C作CF⊥EB,

∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形．

∵CD=1，∴EF=1.

∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，

∴AE=BF=1.

∵∠BAD=45°,∴DE=CF=1.

连结CE，则CE=CB=.

∵EB=2,∴∠BCE=90°，则BC⊥CE.                             

在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，

∴AE⊥平面BCDE.

∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC．                         

∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．                        

 （Ⅱ）用反证法.假设EM∥平面ACD.

∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，

∴EB∥平面ACD.                                           

∵EB∩EM=E，∴平面AEB∥平面ACD．                    

而A∈平面AEB，A∈平面ACD，                   

与平面AEB∥平面ACD矛盾．

∴假设不成立.

∴EM与平面ACD不平行.