Question

（2013•泰安一模）如图在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD=DE=2BF=2．
（I）求证：AC⊥EF；
（II）求二面角C-EF-D的大小；
（III）设G为CD上一动点，试确定G的位置使得BG∥平面CEF，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）建立坐标系，利用向量的数量积为0，即可证明AC⊥EF；
（II）取

AC

为平面EFD的法向量，求出平面CEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角C-EF-D的大小；
（III）若BG∥平面CEF，只需

BG

⊥

n

，则可得G为CD的中点时，BG∥平面CEF．

解答：（I）证明：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），F（2，2，1），E（0，0，2）
∴

AC

=(-2，2，0)，

EF

=(2，2，-1)
∴

AC

•

EF

=-2×2+2×2+（-1）×0=0
∴AC⊥EF；
（II）解：∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥ED
∵AC⊥EF，∴取

AC

为平面EFD的法向量
∴

AC

=（-2，2，0）
设平面CEF的法向量为

n

=（x，y，1），∴

EF • n =0 EC • n =0

∵

EC

=（0，2，-2），
∴

2x+2y-1=0 2y-2=0

∴

x=- 1 2 y=1

∴

n

=(-

1

2

，1，1)
设二面角C-EF-D的大小为θ，则
cosθ=

n • AC

| n || AC |

=

(- 1 2 ，1，1)•(-2，2，0)

3 2 •2 2

=

2

2

∵θ∈[0，π]，∴θ=

π

4

（III）解：设G（0，y₀，0），y₀∈[0，2]
若BG∥平面CEF，只需

BG

⊥

n

，又

BG

=（-2，y₀，0）
∴

BG

•

n

=（-2，y₀-2，0）•（-

1

2

，1，1）=1+y₀-2+0=0
∴y₀=1
∴G点坐标为（0，1，0）
即当G为CD的中点时，BG∥平面CEF．

点评：本题考查利用空间向量求空间角，考查线面平行，考查学生的分析问题和解决问题的能力，属于中档题．