Question

现有m（m≥2）个不同的数P₁、P₂、P₃、…、P_n．将他们按一定顺序排列成一列．对于其中的两项P_i和P_j，若满足：1≤i＜j≤m且P_i＞P_j（即前面某数大于后面某数），则称P_i与P_j构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）、n、（n-1）、…3、2、1的逆序数为a_n．如排列2、1的逆序数a₁=1，排列3、2、1的逆序数a₂=3．
（1）求a₃、a₄、a₅；
（2）求a_n的表达式；
（3）令bn=

an

an+1

+

an+1

an

，证明b₁+b₂+…b_n＜2n+3，n=1，2，…．

Answer 1

分析：（1）由已知条件我们用列举法易得a₃、a₄、a₅
（2）根据（1）的结论及a₁、a₂的值，我们利用归纳推理不难得到a_n的表达式
（3）要证明b₁+b₂+…b_n＜2n+3，关键要根据（2）的结论及bn=

an

an+1

+

an+1

an

，将bn表达出来，并利用数列求和的方法解决问题．

解答：解：（I）由已知得a₃=6，a₄=10，a₅=15，
（II）∵a₁=1，
a₂=3=2+1，
a₃=6=3+2+1，
a₄=10=4+3+2+1，
a₅=15=5+4+3+2+1，
…
∴不妨猜想an=n+(n-1)+…+2+1=

n(n+1)

2

（III）因为an=n+(n-1)+…+2+1=

n(n+1)

2

，
又因为bn=

n

n+2

+

n+2

n

=2+

2

n

-

2

n+2

，n=1，2，，
所以b₁+b₂+…+b_n=2n+2[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=2n+3-

2

n+1

-

2

n+2

＜2n+3．
综上，b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，n=1，2，．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）中将bn表达出来，利用数列求和的方法不难给出b₁+b₂+…+b_n的表达式，但要想证明出结果，要使用不等式的传递性（放缩法）进行证明．