Question

如图，点A，F分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，直线AF与椭圆交于另一点B，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C，D两点，若

CD

AB

=

5

2

，则椭圆的离心率为

1

2

．

Answer 1

分析：设出AB，CD的方程，分别与椭圆方程联立，求导|CD|，|AB|，利用

CD

AB

=

5

2

，即可求得椭圆的离心率．

解答：解：由题意，设AB的方程为：y=-

b

c

x+b，则CD的方程为y=-

b

c

x
AB的方程与椭圆方程联立可得（a²+c²）x²-2a²cx=0，∴x=0或x=

2a2c

a2+c2

∴|AB|=

1+ b2 c2

×

2a2c

a2+c2

=

2a3

a2+c2

CD的方程与椭圆方程联立可得（a²+c²）x²=a²c²，∴x=±

ac

a2+c2

∴|CD|=

1+ b2 c2

×

2ac

a2+c2

=

2a2

a2+c2

∵

|CD|

|AB|

=

5

2

∴

2a2 a2+c2

2a3 a2+c2

=

5

2

∴

a2+c2

a

=

5

2

∴e=

c

a

=

1

2

故答案为

1

2

．

点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出|CD|，|AB|，属于中档题．