Question

△ABC的角A、B、C所对的边分别记作a、b、c，已知a、b、c成等差数列，且a=4，cosC=

1

8

．
（Ⅰ）求b、c的值；       
（Ⅱ）求证：C=2A．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a、b、c成等差数列，设公差为d，则b=4+d，c=4+2d．在△ADC中，由余弦定理可得d²+3d-4=0，d=1或d=-4．经检验d=1，此时，b=5，c=6．
（Ⅱ）利用余弦定理求得cosA的值，再根据cos2A=2cos2A-1=2(

3

4

)2-1=

1

8

=cosC，且A、C是三角形的内角，可得C=2A．

解答：（Ⅰ）解：∵a、b、c成等差数列，设公差为d，则b=4+d，c=4+2d．
在△ADC中，由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，∴(4+2d)2=42+(4+d)2-2•4(4+d)•

1

8

．
化简，得d²+3d-4=0，d=1或d=-4．
当d=-4时，b=4+d=0，不合题意，舍去；
∴d=1，此时，b=5，c=6．
（Ⅱ）证明：∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

52+62-42

2•5•6

=

3

4

，
又cos2A=2cos2A-1=2(

3

4

)2-1=

1

8

=cosC，
∴cosC=cos2A，∵A、C是三角形的内角，∴C=2A．

点评：本题主要考查等差数列的定义、通项公式的应用、余弦定理、二倍角公式的应用，属于中档题．