Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＜0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当g（x）=f（x）-2cos2x时，如何由函数y=sinx的图象通过适当的变换得到函数y=g（x）的图象，写出变换过程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求函数f（x）的解析式，需找到A，ω，φ的值，A是振幅，是图象离开平衡位置的最大位移，由图象可知；ω与函数周期有关，周期T=

2π

ω

，根据图象找到周期，可得ω的值，再代一点，就可求出∅值．
（Ⅱ）先求出g（x）的解析式，把y=sinx的图象向右平移

π

6

得到y=sin（x-

π

6

）的图象；再把sin（x-

π

6

）图象上所有点的坐标缩短为原来的

1

2

纵坐标不变得到y=sin（2x-

π

6

）的图象；把y=sin（2x-

π

6

）的图象上所有点的纵坐标扩大为原来的

1

2

，纵坐标不变得到y=2sin（2x-

π

6

）的图象．

解答：解：（Ⅰ）由图象知A=2，f（x）的最小正周期T=4×（

5π

12

-

π

6

）=π，∴ω=2
将点（

π

6

，2）代入得sin（

π

3

+φ）=1，又，|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（Ⅱ）g（x）=2sin（2x+

π

6

）-2cos2x=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）
变换如下：把y=sinx的图象向右平移

π

6

得到y=sin（x-

π

6

）的图象；再把sin（x-

π

6

）
图象上所有点的横坐标缩短为原来的

1

2

纵坐标不变得到y=sin（2x-

π

6

）的图象；
把y=sin（2x-

π

6

）的图象上所有点的纵坐标扩大为原来的2倍，横坐标不变得到y=2sin（2x-

π

6

）的图象．

点评：本题考查了由三角函数图象求解析式，以及函数图象变换，做题时要细心．