Question

已知a，b，c∈R，则2a²+3b²+6c²=1是a+b+c∈[-1，1]的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：利用柯西不等式2a²+3b²+6c²=1，推出-1≤a+b+c≤1，通过-1≤a+b+c≤1利用特例否定2a²+3b²+6c²=1，利用充要条件的判断方法推出结果．

解答：解：由柯西不等式得：|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|
=

1

2

•

2

|a|+

1

3

•

3

|b|+

1

6

•

6

|c|
≤

( 1 2 )2+( 1 3 )2+( 1 6 )2

•

( 2 |a|)2+( 3 |b|)2+( 6 |c|)2

=1，（2a²+3b²+6c²=1）
所以-1≤a+b+c≤1，
反之，当-1≤a+b+c≤1时，不妨令a=0.9，b=0，c=0.1；2a²+3b²+6c²=1.68＞1，
所以2a²+3b²+6c²=1是a+b+c∈[-1，1]的充分不必要条件．
故选A．

点评：本题考查柯西不等式在不等式的证明中的应用，充要条件的判断方法，考查逻辑推理能力．