求与两定点A.B满足|PA|2-|PB|2=k2的动点P的轨迹方程. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

求与两定点A、B满足|PA|²-|PB|²=k²（k是常数）的动点P的轨迹方程.

试题答案

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思路解析：求轨迹方程通常采用直接法，根据题目给出的条件，按照上面五个步骤求解即可.

解法一：如上图，取两定点A和B的连线为x轴，过AB的中点且与AB垂直的直线为y轴建立直角坐标系.

设A（-a，0）、B（a，0）、P（x，y）,则

|PA|²=（x+a）²+y²，|PB|²=（x+a）²+y².

据题意，|PA|²-|PB|²=k²，有［（x+a）²+y²］-［（x-a）²+y²］=k²，得4ax=k².

由于k是常数，且a≠0，所以x=为动点的轨迹方程，即动点P的轨迹是一条垂直于x轴的直线.

解法二：如上图，取A与B两点的连线为x轴，过A点且与AB垂直的直线为y轴建立坐标系.

设A（0，0）、B（a，0）、P（x，y）,则|PA|²=x²+y²，|PB|²=（x-a）²+y².

据题意，|PA|²-|PB|²=k²，有（x²+y²）-［（x-a）²+y²］=k²，

得x=，即动点P的轨迹方程为x=，它是平行于y轴的一条直线.

解法三：如上图建立坐标系，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），则

|PA|²=（x-x₁）²+(y-y₁)²,

|PB|²=（x-x₂）²+(y-y₂)²,

据题意，|PA|²-|PB|²=k²,有［（x-x₁）²+(y-y₁)²］-［（x-x₂）²+(y-y₂)²］=k²，

整理后，得到点P的轨迹方程为

2（x₂-x₁）x+2（y₂-y₁）y+x₁²+y₁²-x₂²-y₂²-k²=0，它是一条直线.

深化升华

由上面介绍的三种解法可以看到：对于同一条直线，在不同的坐标系中，方程不同.适当建立坐标系如解法一、解法二得到的方程形式简单、特征明显，一看便知是直线.而解法三得到的方程烦琐、冗长，若以此为基础研究其他问题，会引起不必要的麻烦.因此，在求曲线方程时，根据具体情况适当选取坐标系十分重要.另外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应强调曲线的方程，而不是曲线.