Question

如图，在长方体AC中，AB=BC=2，AA₁=

2

，E、F分别是面A₁C₁，面BC₁的中心，求：
（1）AF和BE所成的角．
（2）AA₁与平面BEC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，以DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．可得

AF

、

BE

的坐标，从而算出

AF

•

BE

=0，由此即可得到AF和BE所成的角为90°．
（2）根据AA₁∥BB₁，可得BB₁与平面BEC₁所成角等于AA₁与平面BEC₁所成角．由 VB1-BEC1= VB-B1EC1利用等体积转换，代入题中数据算出B₁到平面BEC₁的距离等于1，再根据直线与平面所成角的定义与性质，可得AA₁与平面BEC₁所成角的大小．

解答：解：（1）以DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，可得
A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，1，

2

），F（1，2，

2

2

）
∴

AF

=（-1，2，

2

2

），

BE

=（-1，-1，

2

）
可得

AF

•

BE

=-1×（-1）+2×（-1）+

2

2

×

2

=0
因此

AF

⊥

BE

，即AF和BE所成的角为90°；
（2）∵长方体AC中，AA₁∥BB₁，
∴BB₁与平面BEC₁所成角等于AA₁与平面BEC₁所成角．
设点B₁到平面BEC₁的距离等于d，则
V B1-BEC1=V  B-B1EC1，即

1

3

S △BEC1×d=

1

3

S △B1EC1 ×BB₁
∵BE=

BB12+B1E2

=

BB12+ 1 4 A 1C12

=

2+ 1 4 (22+22)

=2，EC₁=

1

2

A₁C₁=

2

，∠BEC₁=90°
∴S △BEC1=

1

2

BE×EC₁=

2

∵S △B1EC1 =

1

4

SA1 B1C1D1=1，
∴

1

3

×

2

×d=

1

3

×1×

2

，解之得d=1．
设BB₁与平面BEC₁所成角为α，则sinα=

d

BB1

=

2

2

，得α=45°，
∴BB₁与平面BEC₁所成角为45°，即AA₁与平面BEC₁所成角等于45°．

点评：本题在长方体中求异面直线所成角的大小和直线与平面所成角的大小，着重考查了长方体的性质和利用空间向量研究异面直线所成角、直线与平面所成角的定义与求法等知识，属于中档题．