Question

设直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，求不等式组

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

表示平面区域的面积．

Answer 1

分析：由M与N关于x+y=0对称得到直线y=kx+1与x+y=0垂直可求k的值；由直线与圆相交的性质可得，x+y=0经过圆x²+y²+kx+my-4=0的圆可得m的值，把k的值和m的值代入不等式组，在数轴上画出相应的平面区域，求出面积即可．

解答：解：因为M与N关于x+y=0对称，
直线y=kx+1与直线x+y=0垂直且被直线平分
∴k=1，直线MN的方程为y=x+1；
由直线与圆相交的性质可得，x+y=0经过圆x²+y²+kx+my-4=0的圆心
∴k+m=0
∴m=-1
所以把k=1，m=-1代入不等式组得

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

画出不等式所表示的平面区域如图，△AOB为不等式所表示的平面
联立

y=-x y=x+1

可得B（-

1

2

，0）
∵A（-1，0）
所以S_△AOB=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用韦达定理及中点坐标公式化简求值，会进行简单的线性规划，是一道中档题．