Question

集合S_n={1，2，3，…，n}的子集X中，如果奇数的个数比偶数的个数多，则称X为好子集，记集合S_n的好子集的个数为f（n）．
（Ⅰ）求f（3），f（4）的值；
（Ⅱ）求证f（n）≤2^n-1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可用列举法写出集合的好子集 即可得到答案；（Ⅱ）含n个元素的集合的子集个数为2ⁿ，按好子集的定义，其个数不超过总数的一半，使问题得证．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知：集合S₃={1，2，3}的好子集为：{1}、{3}、{1，3}、{1，2，3}，f（3）为集合S₃={1，2，3}的好子集的个数，即f（3）=4；
同理可得S₄的好子集为：{1}、{3}、{1，3}、{1，2，3}，{1，3，4}共5个，故f（4）=5．
（Ⅱ）当集合的元素个数为n时，集合的子集个数为2ⁿ，其中有的奇数的个数比偶数的个数多，
有的偶数的个数比奇数的个数多，有的偶数的个数跟奇数的个数一样多，即好子集的个数不超过总数的一半，
即f（n）≤

1

2

×2n=2^n-1．

点评：本题为新定义，正确理解好子集并跟已知的集合知识相联系是解决问题的关键，属中档题．