Question

2．对任意的x，y∈R函数f（x）都满足f（x+y）=f（x）+f（y）+1恒成立，则f（4）+f（3）+f（2）+f（1）+f（0）+f（-1）+f（-2）+f（-3）+f（-4）=（　　）

• A． 1
• B． -9
• C． -8
• D． 2

Answer 1

分析 f（x+y）=f（x）+f（y）+1，即为f（x+y）+1=[f（x）+1]+[f（y）+1]，令g（x）=f（x）+1，判断g（x）为奇函数，即可得到所求值．

解答 解：f（x+y）=f（x）+f（y）+1，即为
f（x+y）+1=[f（x）+1]+[f（y）+1]，
令g（x）=f（x）+1，则g（x+y）=g（x）+g（y），
令x=y=0，可得g（0）=0，
令y=-x，可得g（0）=g（x）+g（-x）=0，
即有g（x）为奇函数，
则f（x）+f（-x）=-2，f（0）=-1，
则f（4）+f（3）+f（2）+f（1）
+f（0）+f（-1）+f（-2）+f（-3）+f（-4）=-2×4-1=-9．
故选：B．

点评 本题考查抽象函数的奇偶性的判断和运用：求函数值，考查运算能力，属于中档题．