Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，设，，若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)分类讨论参数的范围，利用导数求函数单调性即可；

(2)利用导数证明函数与在区间的单调性，利用单调性化简题设条件，构造函数，由函数单调性的定义判断函数为减函数，得出在上恒成立，再次构造函数，分类讨论参数利用导数的范围，利用导数求函数单调性，结合在上恒成立，求出的范围.

（1），令，

①当时，，所以在上单调递增；

②当时，令，，所以在上单调递增，在上单调递减；

③当时，令，，所以在上单调递减，在上单调递增．

（2）

因为，当时，，在单调递减；

，当时，，在单调递减．

因为对任意，

不妨设，则由两函数的单调性可得：，对任意恒成立

令

则对任意恒成立

即在上单调递减

即在上恒成立，令

当时，在恒成立

，G(x)在上单调递减，，满足题意；

当时，G(x)有两个极值点且，

∴在上，G(x)单调递增，即对任意上恒成立，不满足题意，舍去；

综上：当时，不等式在恒成立．