Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足

QR

•

RS

=0，求|

QS

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由离心率为

3

3

，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C₁的方程；
（2）把题中条件转化为动点M的轨迹是以l₁：x=-1为准线，F₂为焦点的抛物线，即可求点M的轨迹C₂的方程；
（3）先设出点R，S的坐标，利用

QR

•

RS

=0求出点R，S的坐标之间的关系，再用点R，S的坐标表示出|

QS

|，利用函数求最值的方法即可求|

QS

|的取值范围．

解答：解：（1）由e=

3

3

得2a²=3b²，又由直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，
得b=

2

，a=

3

，∴椭圆C₁的方程为：

x2

3

+

y2

2

=1．（4分）
（2）由MP=MF₂得动点M的轨迹是以l₁：x=-1为准线，
F₂为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C₂的方程为y²=4x．（8分）
（3）Q（0，0），设R(

y 2 1

4

，y1)，S(

y 2 2

4

，y2)，
∴

QR

=(

y 2 1

4

，y1)，

RS

=(

y 2 2 - y 2 1

4

，y2-y1)，
由

QR

•

RS

=0，得

y 2 1 ( y 2 2 - y 2 1 )

16

+y1(y2-y1)=0，∵y₁≠y₂
∴化简得y2=-y1-

16

y1

，（10分）
∴

y

2 2

=

y

2 1

+

256

y 2 1

+32≥2

256

+32=64（当且仅当y₁=±4时等号成立），
∵|

QS

|=

( y 2 2 4 )2+ y 2 2

=

1

4

( y 2 2 +8)2-64

，
又∵y₂²≥64，∴当y₂²=64，即y₂=±8时|

QS

|min=8

5

，
∴|

QS

|的取值范围是[8

5

，+∞)．（13分）

点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．