Question

数列{a_n}满足a₁=1，

1 a 2 n +4

=

1

an+1

，记Sn=

n

i=1

a

2 i

，若S_2n+1-S_n≤

t

30

对任意的n（n∈N^*）恒成立，则正整数t的最小值为（　　）

A．10

B．9

C．8

D．7

Answer 1

分析：先求出 数列{a_n²}的通项公式，令 g（n）=S_2n+1-S_n，化简g（n）-g（n+1）的解析式，判断符号，得出g（n）为减数列的结论，从而得到 S2n+1-Sn≤g(1)=

14

45

≤

t

30

，可求正整数t的最小值．

解答：解：∵

1 a 2 n +4

=

1

an+1

，
∴

1

an2

+4=

1

an+12

，
∴

1

an+12

-

1

an2

=4，
∵a₁=1，
∴{

1

an2

}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴

1

an2

=1+(n-1)×4=4n-3，
∴an 2=

1

4n-3

，
∴S_n=

n

i=1

a

2 i

=

1

4-3

+

1

4×2-3

+

1

4×3-3

+…+

1

4n-3

令 g（n）=S_2n+1-S_n，
而g（n）-g（n+1）
=

a

2 n+1

-

a

2 2n+2

-

a

2 2n+3

=

1

4n+1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

＞0，
为减数列，
所以：S2n+1-Sn≤g(1)=

14

45

≤

t

30

，
而t为正整数，所以，t_min=10．
故选A．

点评：本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．