题目内容
若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），[f′（α）]2+[f′（β）]2=0，f（α）+f（β）=0（其中α，β∈R且α≠β），则下列选项中一定是方程f（x）=0的根的是（ ）
分析：可判α，β为函数f（x）的极值点，f（x）的图象关于点（0，d）中心对称，可得两极值点的中点在函数f（x）的图象上，结合韦达定理可得结论．
解答：解：∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵[f′（α）]2+[f′（β）]2=0，[f′（α）]2≥0，[f′（β）]2≥0，
∴f′（α）=f′（β）=0，即α，β为一元二次方程f′（x）=3ax2+2bx+c=0的两根，
即α，β为函数f（x）的极值点，令g（x）=ax3+bx2+cx，可判g（x）为奇函数，
故函数g（x）的图象关于原点对称，f（x）可看作g（x）的图象上下平移得到的，
故f（x）的图象关于点（0，d）中心对称，
故可得两极值点（α，f（α）），（β，f（β））的中点（
，
）在函数f（x）的图象上，
由韦达定理可得α+β=-
，αβ=
，故（-
，0）在函数f（x）的图象上，
故可得f（-
）=0．
故选：A．
∵[f′（α）]2+[f′（β）]2=0，[f′（α）]2≥0，[f′（β）]2≥0，
∴f′（α）=f′（β）=0，即α，β为一元二次方程f′（x）=3ax2+2bx+c=0的两根，
即α，β为函数f（x）的极值点，令g（x）=ax3+bx2+cx，可判g（x）为奇函数，
故函数g（x）的图象关于原点对称，f（x）可看作g（x）的图象上下平移得到的，
故f（x）的图象关于点（0，d）中心对称，
故可得两极值点（α，f（α）），（β，f（β））的中点（
| α+β |
| 2 |
| f(α)+f(β) |
| 2 |
由韦达定理可得α+β=-
| 2b |
| 3a |
| c |
| 3a |
| b |
| 3a |
故可得f（-
| b |
| 3a |
故选：A．
点评：本题考查函数的极值点，以及函数图象的变换，属中档题．
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