Question

A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）.求证：

（1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；

（2）直线AB经过一个定点.

Answer 1

证明：（1）设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂），则y₁²=2px₁,

y₂²=2px₂.∵OA⊥OB,∴x₁x₂+y₁y₂=0,

y₁²·y₂²=4p²x₁·x₂=4p²（-y₁y₂）.∴y₁y₂=-4p²（定值）.

从而x₁x₂=4p²也为定值.?

（2）∵y₁²-y₂²=2p（x₁-x₂）,?

∴.

∴直线AB的方程为?

y-y₁=（x-x₁），?

即y=x-·+y₁.

∴y=（x-2p）.?

∴直线AB经过定点（2p,0）.