Question

如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得到几何体B-ACD．
（I）求证：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）由已知中BD⊥AD，BD⊥CD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACD，进而AC⊥BD，由余弦定理可以判断出AC⊥CD，再由线面垂直的判定定理，即可得到AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）以D为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出异面直线AB与CD的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到异面直线AB与CD所成角的正切值．

解答：证明：（I）因为BD⊥AD，BD⊥CD，AD∩CD=D，
所以BD⊥平面ACD．
又因为AC?平面ACD，
所以AC⊥BD．  ①
在△ACD中．∠ADC=30°，AD=2，CD=

3

，
由余弦定理得AC²=AD²+CD²一2AD•CD•COS∠ADC=1．
因为AD²=CD²+AC²．所以∠ACD=90°．即AC⊥CD．②
由①、②及BD∩CD=D，可得AC⊥平面BCD．
解：（Ⅱ） 以D为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，
则A（1，

3

，0），B（0，0，1），C（0，

3

，0）
则

AB

=（-1，-

3

，1），

CD

=（0，-

3

，0）
设异面直线AB与CD所成角为θ，
则cosθ=

AB • CD

| AB |•| CD |

=

15

5

则sinθ=

10

5

tanθ=

6

3

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判断，其中（I）的关键是证得AC⊥BD，AC⊥CD，（II）的关键是建立空间坐标系，将异面直线夹角问题转化为向量夹角的问题．