题目内容

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点．

（Ⅰ）试证：AB平面BEF；

（Ⅱ）设PA＝k ·AB，若平面与平面的夹角大于，求k的取值范围．

（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAB为直角，故ABFD是矩形，从而ABBF．

又PA底面ABCD, 所以平面平面，

因为ABAD，故平面,所以，

在内，E、F分别是PC、CD的中点，，所以．

由此得平面． 　　　…………6分

（Ⅱ）以为原点，以为正向建立空间直角坐标系，

设的长为1，则

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则

，取，可得

设二面角E-BD-C的大小为，

则

化简得，则.…………12分

练习册系列答案
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精英家教网如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD=a，PA=PC=
2
a，
（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角A-PB-D的平面角的大小．
精英家教网如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=
90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=
12
AD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．
精英家教网如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，对角线AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M为PD上的一点．
（Ⅰ）证明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．
精英家教网如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大小．
（3）求点A到面EBD的距离．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）设PD=AD=a，求三棱锥B-EFC的体积．

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