Question

某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：设矩形堆料场的宽为xm，则长为

512

x

m，表示出新的墙壁的周长，利用基本不等式可求周长的最小值，从而可求砌壁所用的材料最省时堆料的长和宽．

解答： 解：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示．
设场地宽为x，则长为

512

x

，…（2分）
新砌墙的总长度为L=2x+

512

x

（x＞0）．…（4分）
求导L′=2-

512

x2

，…（6分）
令L′=0得x=-16或x=16，
∵x＞0，∴x=16．…（8分）
当x∈（0，16）时，L′＜0，…（9分）
当x∈（16，+∞）时，L′＞0，…（10分）
∴当x=16时，L取得极小值，…（11分）
且这个极小值为函数L在（0，+∞）上的最小值，L_min=64（m）．…（13分）
答：当堆料场宽为16米，长为32米时，可使砌墙所用的材料最省．…（14分）

点评：本题重点考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是求出新的墙壁的周长．