Question

在直角坐标系xoy上取两个定点A₁(－2，0)，A₂(2，0)，再取两个动点N₁(0，m)，N₂(0，n)，且mn＝3．

(Ⅰ)求直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程；

(Ⅱ)已知点A(1，t)(t＞0)是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率k_AE与直线AF的斜率k_AF满足k_AE＋k_AF＝0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)依题意知直线的方程为：①　2分 　　直线的方程为：②　3分 　　设是直线与交点，①×②得 　　由 　　整理得　4分 　　∵不与原点重合　∴点不在轨迹M上　5分 　　∴轨迹M的方程为()　6分 　　(Ⅱ)∵点()在轨迹M上 　　∴解得， 　　即点A的坐标为　7分 　　设，则直线AE方程为：，代入并整理得 　　　9分 　　设，，∵点在轨迹M上， 　　∴③，④　11分 　　又 　　得，将③、④式中的代换成，可得 　　，　12分 　　∴直线EF的斜率　13分 　　∵ 　　∴ 　　即直线EF的斜率为定值，其值为　15分