Question

在直角坐标系xoy上取两个定点A₁（-2，0），A₂（2，0），再取两个动点N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=3．
（1）求直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程；
（2）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率k_AE与直线AF的斜率k_AF满足k_AE+k_AF=0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先分别求直线A₁N₁与A₂N₂的方程，进而可得，利用mn=3，可以得，又点A₁（-2，0），A₂（2，0）不在轨迹M上，故可求轨迹方程；
（2）先求点A的坐标，将直线AE的方程代入并整理，利用k_AE+k_AF=0得k_AF=-k，从而可表示直线EF的斜率，进而可判断直线EF的斜率为定值．
解答：解：（1）依题意知直线A₁N₁的方程为：①---（1分）
直线A₂N₂的方程为：②----------（2分）
设Q（x，y）是直线A₁N₁与A₂N₂交点，①×②得
由mn=3整理得-----------------（5分）
∵N₁，N₂不与原点重合∴点A₁（-2，0），A₂（2，0）不在轨迹M上-----------------（6分）
∴轨迹M的方程为（x≠±2）-----------------------------------（7分）
（2）∵点A（1，t）（t＞0）在轨迹M上∴解得，即点A的坐标为--（8分）
设k_AE=k，则直线AE方程为：，代入并整理得----------------------------------（10分）
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），∵点在轨迹M上，
∴------③，④--------------（11分）
又k_AE+k_AF=0得k_AF=-k，将③、④式中的k代换成-k，
可得，------------（12分）
∴直线EF的斜率∵
∴
即直线EF的斜率为定值，其值为---（14分）
点评：本题主要考查交轨法求轨迹方程，应注意纯粹性，（2）的关键是求出直线EF的斜率的表示，通过化简确定其伟定值，考查了学生的计算能力，有一定的综合性．