Question

已知函数f（x）=x²e^x，当曲线y=f（x）的切线L的斜率为正数时，L在x轴上截距的取值范围为

(-∞，-2

2

-3)∪(0，+∞)

．

Answer 1

分析：设切点P（a，a²e^a），根据导数的几何意义，得到切线L的斜率k=y′|_x=a=2ae^a+a²e^a＞0，解得a的取值范围，再求出切线方程在x轴上的截距，利用基本不等式和函数的单调性求出横截距x的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=x²e^x，
∴y′=2xe^x+x²e^x，设切点P（a，a²e^a）
根据题意可得，切线L的斜率k=y′|_x=a=2ae^a+a²e^a＞0，即（a²+2a）e^a＞0，解得a＜-2或a＞0，
由点斜式可得切线L的方程为：y-a²e^a=（2ae^a+a²e^a）（x-a），
令y=0，可得x=a-

a

a+2

=

2

a+2

+a+2-3，
①当a＜-2，即a+2＜0时，x=

2

a+2

+a+2-3=-[

2

-(a+2)

+(-a-2)]-3≤-2

2 -(a+2) •[-(a+2)]

-3=-2

2

-3，
当且仅当-（a+2）=-

2

a+2

，即a=-

2

-2时取等号，
∴x≤-2

2

-3；
②当a＞0，即a+2＞2时，x=

2

a+2

+a+2-3在（2，+∞）上单调递增，
当a+2=2时，x=0，
∴x＞0．
综合①②，x≤-2

2

-3或x＞0．
故答案为：(-∞，-2

2

-3)∪(0，+∞)．

点评：本题考查了导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了直线方程的截距的概念．涉及利用基本不等式和函数的单调性求解函数的取值范围，利用基本不等式时，要注意“一正，二定，三相等”的判断．属于中档题．