Question

函数f（x）=

1

2a

x²-（1+

1

a2

）x+

1

a

lnx，a∈R．
（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（3）g（x）=b²x²-3x+

1

2

ln2，当a=2，1＜x＜3时，g（x）＞f（x）恒有解，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）把a=-1代入到f′（x），令f′（x）＞0时，得到函数的递增区间；令f′（x）＜0时，得到函数的递减区间；
（2）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（3）g（x）＞f（x）恒有解，分类参数可得即b²＞3[-

1

2

•

1

x2

+

1

x

]有解，利用换元法和导数研究函数k（t）=-

1

2

t2+t，t∈[

1

3

，1]的最值，即可求得结论．

解答：解：f′（x）=

1

a

x-1-

1

a2

+

1

ax

=

1

ax

[x²-（a+

1

a

）x+1]=

1

ax

（x-a）（x-

1

a

）
由题设知x＞0
a-

1

a

=

(a+1)(a-1)

a

（1）a=-1时，f′（x）＜0，则f（x）的单减区间是（0，+∞）
（2）①0＜a＜1时，a-

1

a

＜0，即0＜a＜

1

a

，则f（x）在（0，a）和（

1

a

，+∞）上单增，在（a，

1

a

）上单减    
②a=1时，a=

1

a

=1，f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）上单增
③a＞1时，a-

1

a

＞0即0＜

1

a

＜a，则f（x）在（0，

1

a

）和（a，+∞）上单增，在（

1

a

，a）上单减    
（3）由（2）知，a=2，1＜x＜3时，
当x=2时f（x）得到最小值为f（2）=-

3

2

+

1

2

ln2
∴1＜x≤3时，g（x）＞f（x）恒有解，需b²x²-3x+

1

2

ln2＞-

3

2

+

1

2

ln2在1＜x＜3时有解
即b²＞3[-

1

2

•

1

x2

+

1

x

]有解，
令t=

1

x

∈[

1

3

，1]，k（t）=-

1

2

t2+t，t∈[

1

3

，1]，
k′（t）=1-t＞0，∴k（t）  在t∈[

1

3

，1]上单增
∴

5

6

=k(

1

3

)≤k(t)＜k(1)=

3

2

  
∴需b²＞

5

6

，即b＜-

30

6

或b＞

30

6

∴b的范围是（-∞，-

30

6

）∪（

30

6

，+∞）．

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，理解函数恒成立取到的条件，考查应用知识分析解决问题的能力和运算能力，分离参数转化为求函数的最值是解题的关键，体现了转化的数学思想方法，属难题．