Question

已知函数f(x)=lnx-

1

2

ax2(a∈R，a≠0)．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）已知点A(1，-

1

2

a)，设B(x1，y1)(x1＞1)是曲线C：y=f(x)图角上的点，曲线C上是否存在点M（x₀，y₀）满足：①x0=

1+x1

2

；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB？请说明理由．

Answer 1

分析：（I）f（x）的定义域是（0，+∞），对f（x）进行求导，利用导数研究函数f（x）的单调区间；
（II）假设存在满足条件的点M，根据A在曲线C上，求出直线AB的斜率，根据导数与斜率的关系K_AB=f′（x₀），对其进行化简，从而进行判断；

解答：解：（I）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-ax=

1-ax2

x

，
①当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞0时，由f′（x）＞0和x＞0得0＜x＜

a

a

f（x）在（0，

a

a

）内单调递增，
由f′（x）＜0和x＞0得x＞

a

a

，f（x）在（

a

a

，+∞）内单调递减，
综上所述：当a＞0时，f（x）的单调增区间是（0，

a

a

），单调递减区间是（

a

a

，+∞）；
（II）假设存在满足条件的点M，
∵A在曲线C上，∴K_AB=

y1+ 1 2 a

x1-1

=

lnx1- 1 2 ax 2 1 + 1 2 a

x1-1

，
f′（x）=

1

x

-ax，
∴f′（x₀）=f′（

x1+1

2

）=

2

x1+1

-a•

x1+1

2

，由已知K_AB=f′（x₀），
∴

lnx1- 1 2 ax 2 1 + 1 2 a

x1-a

=

2

x1+1

-a•

x1+1

2

，
化简整理可得lnx₁=

2(x1-1)

x1+1

=2-

4

x1+1

，
即lnx₁+

4

x1+1

＞2
∴lnx₁+

4

x1+1

＞2
∴lnx₁=2-

4

x1+1

不成立，即满足条件的点M是不存在的；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及导数与斜率的关系，第二问是存在性问题，难度有些大，此题是一道中档题；